Свойства функции целая часть числа

Важнейшие функции в теории чисел Введение в математику переменных величин и функционального мышления во времена Ньютона коренным образом преобразило все естественные науки и расширило область их применения, изменив сам стиль исследовательской деятельности. Не избежала этой участи и теория чисел, в которой функциональный взгляд на многие числовые явления позволяет легко и быстро получать красивые и полезные утверждения. Знакомством с важнейшими функциями, занятыми в спектакле "Теория чисел" на главных ролях, с их работой, чаяниями и нуждами, мы займемся в этом параграфе. Название этого параграфа и названия первых трех его пунктов взяты мной из классической книжки Виноградова "Основы теории чисел", ибо зачем придумывать самому уже давно и хорошо придуманное? Содержание же этих пунктов получилось гораздо обширнее, чем в вышеупомянутой книжке, поэтому работа предстоит тяжелая. Но чураться работы - означает добровольно обрекать себя на бесконечный нудный и утомительный отдых на Канарах, чем наносить непоправимый вред своему здоровью. Целая и дробная часть. Пусть x О R - действительное число. Отметим, что эти две функции известны каждому со школьной скамьи; что целая часть - неубывающая функция; что дробная часть - периодическая с периодом 1 функция; что дробная часть всегда неотрицательна, но меньше единицы; что обе эти функции разрывны при целых значениях xно непрерывны при этих x справа; что лучшие мои годы уже прошли, а юношеские мечты так и не воплотились в реальность. Не осуждайте эти функции за их простоту, а лучше взгляните на их дальнейшие применения, порой изящные и неочевидные. Показатель, с которым простое число р входит в разложение n! Сумма a и дает искомый результат, так как всякий сомножитель, кратный p mно не кратный p m +1сосчитан в ней точно m раз: как кратный pкак кратный p 2как кратный p 3 . Показатель, с которым 5 входит в 643! Точка координатной плоскости называется целой, если обе ее координаты - целые числа. Ё Еще одно забавное утверждение про целые точки относится к области комбинаторной геометрии: Лемма 3. Доказательство этой леммы я здесь приводить не буду так как эта лемма, вообще говоря, не относится к теории чисел. Намечу только схему этого доказательства. Ё Что это я все время о целых частях, да о целых частях? Ассоциация независимых профсоюзов дробных частей уже собралась подавать на меня жалобу в ООН, поэтому я, чтобы не разжигать страсти, приведу замечательное утверждение о дробных частях, принадлежащее Лежену Дирихле 1805-1859. Возьмем любое натуральное t и покажем, что неравенство обязательно имеет решение в целых числах p и qгде q і 1. Устремим t к бесконечности. Если число 0 - предельная точка, то все доказано. Следовательно, можно подобрать такое натуральное kчто член { kx } будет меньше единицы на k d и попадет в e -окрестность нуля. Это означает, что число 0 также является предельной точкой последовательности x nа именно это и требовалось. Несколько модернизировав рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, можно обосновать любопытное следствие, так же принадлежащее перу Дирихле. Попытайтесь доказать это следствие самостоятельно, а я на этом пункт 12 заканчиваю. Особое внимание уделите плавности линий, проработке отдельных элементов композиции, грамотной прорисовке точек разрыва. Разложите на простые множители число 100! Найдите площадь многоугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками точки А 0, 0В 2, 7С 4, 2D 8, 8E 10, 0F 5, -5A 0, 0. Докажите, что для любого иррационального числа a О R неравенство имеет бесконечное множество решений pq О Z ґ N и, следовательно, знаменатели q всех решений неограничены. Это один из основополагающих фактов упомянутой теории. NS ОБЪЯВЛЕНИЯ Потерялась собака. Очухаешься, позвони 455893, Толик. Познакомлюсь с симпатичной девушкой. Сам скромный и простой, как число 19.